Viele Modelle in der Physik und den Ingenieurwissenschaften beschreiben Verbundstoffe, deren Struktur auf einer sehr kleinen L\"angenskala variiert. Diese Modelle sind typischerweise durch partielle Differentialgleichungen mit schnell oszillierenden, oftmals periodischen Koeffizienten gegeben. Das Ziel der Homogenisierungstheorie ist es, durch geeignete Mittelungsverfahren das oszillierende (inhomogene) Modell durch ein effektives homogenes Modell zu ersetzen, welches die wesentlichen makroskopischen Eigenschaften des Originalmodells erfasst. In diesem Vortrag werden zwei Homogenisierungsresultate vorgestellt, welche das Verhalten von Wellen in periodischen Medien zum Gegenstand haben. Im ersten Homogenisierungsproblem untersuchen wir die lineare Wellengleichung \begin{align*} \partial_{tt}u^\varepsilon(x,t)=\nabla\cdot\left(a\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\nabla u^\varepsilon(x,t)\right), \end{align*} wobei $\varepsilon>0$ die Periodizit\"atsl\"ange bezeichnet. Wir werden sehen, dass die L\"osungen $u^\varepsilon$ ein Langzeitverhalten aufweisen, welches der klassischen Homogenisierungstheorie scheinbar widerspricht. Im \"ublichen Bild analysiert man feste Beobachtungszeiten $t\in [0,T]$ und erh\"alt, dass im Grenzwert $\varepsilon\rightarrow 0$ die effektive Wellengleichung eine gute Vorhersage f\"ur die Energieausbreitung liefert. Im Gegensatz dazu setzt bei langen Beobachtungszeitr\"aumen $t\in [0,T/\varepsilon^2]$ eine Energiedissipation ein. Dieser Effekt kann als eine schwache Interaktion zwischen Welle und Mikro-Skala verstanden werden. In dem Vortrag liefern wir eine rigorose mathematische Analysis des Effektes und leiten eine dispersive effektive Gleichung her, die das Langzeitverhalten von Wellen in periodischen Medien beschreibt. Das zweite Homogenisierungsproblem ist von sogenannten Metamaterialien mit negativem (Licht-)Brechungsindex inspiriert. Dazu untersuchen wir die zeitharmonischen Maxwell-Gleichungen in einer periodischen Geometrie, welche aus vielen kleinen, flachen, hochleitenden Schlitzringen und metallischen Dr\"ahten besteht. Als Hauptresultat leiten wir das effektive Verhalten dieses Metamaterials her. Wir zeigen, dass der Resonanzeffekt jedes einzelnen Schlitzring-Resonantors zu einer negativen effektiven Permeabilit\"at f\"uhren kann. In Kombination mit den Dr\"ahten resultiert diese in einem negativen effektiven Brechungsindex.